Pascal TriangleIn Probability, (nk)=(nโ1kโ1)+(nโ1k){n \choose k} = {n-1 \choose k-1} + {n-1 \choose k}(knโ)=(kโ1nโ1โ)+(knโ1โ) Proof (nโ1kโ1)+(nโ1k){n-1 \choose k-1} + {n-1 \choose k}(kโ1nโ1โ)+(knโ1โ) =(nโ1)!(kโ1)!ย (nโk)!+(nโ1)!(nโ1โk)!ย k!= {(n-1)! \over {(k-1)!~(n-k)!}} + {(n-1)! \over {(n-1-k)!~k!}}=(kโ1)!ย (nโk)!(nโ1)!โ+(nโ1โk)!ย k!(nโ1)!โ =(kk(nโ1)!(kโ1)!ย (nโk)!)+((nโ1)!(nโ1โk)!ย k!(nโk)(nโk))= ({k \over k} {(n-1)! \over {(k-1)!~(n-k)!}}) + ({(n-1)! \over {(n-1-k)!~k!}} {(n-k) \over (n-k)})=(kkโ(kโ1)!ย (nโk)!(nโ1)!โ)+((nโ1โk)!ย k!(nโ1)!โ(nโk)(nโk)โ) =(nโ1)!(k+nโk)k!ย (nโk)!=n!k!ย (nโk)!= {{{(n-1)!} (k + n - k)} \over {k!~(n-k)!}} = {n! \over {k!~(n-k)!}}=k!ย (nโk)!(nโ1)!(k+nโk)โ=k!ย (nโk)!n!โ =(nk)ย ย ย ย ย ย ย ย ย ย โ = {n \choose k} ~~~~~~~~~~ \blacksquare=(knโ)ย ย ย ย ย ย ย ย ย ย โ