왕국의 재통일

칼빈 존 이언 헬빅 4세와 칼 제임스 잉그럼 헬빅 3세는 육촌 사이이며, 서로 이웃한 두 나라 아스트리아(Aastria)와 압스트리아(Abstria)의 왕이다. 백 년 전 이 땅은 하나의 왕국이었으나, 늙은 헬빅 왕이 세상을 떠나며 나라를 쌍둥이 아들 이언과 잉그럼에게 물려주었다. 아무도 나라를 어떻게 나눌지 몰랐는데, 결국 땅을 똑같은 두 부분으로 쪼개자는 제안이 나왔다. 그러나 이는 지나치게 어려운 일이어서 다섯 번의 시도가 모두 실패했고, 피비린내 나는 내전이 일어났다.

전쟁은 칠 년간 이어지다가 "북동부의 처참한 대혼전"으로 끝났다. 그 최종 칙령에 따라 옛 나라 자리에 두 개의 새 나라가 세워졌는데, 하나는 이언의 것이고 다른 하나는 잉그럼의 것이었다. 하지만 두 나라의 넓이가 서로 달랐던 탓에, 삼 년 만에 다시 전쟁이 시작되었다.

구십 년에 걸친 전쟁 끝에 두 나라의 자원은 모두 바닥났다. 전쟁을 계속하면 이듬해를 넘기지 못하리라는 것을 깨달은 두 왕은 동시에 사절을 보내 평화를 청했고, 두 나라를 다시 하나로 합치기로 했다. 아스트리아와 압스트리아가 재통일된 나라는 아압스트리아(Aabstria)라고 불렸다.

당신은 옛 문헌에서 각 나라 국경에 대한 여러 기록을 발견했다. 각 기록은 한 나라의 국경 표석들의 위치를, 국경을 따라 시계 방향 또는 반시계 방향 순서로 나열한 것이다. 그런데 출처마다 내용이 서로 달랐고, 어떤 기록에서는 국경이 다각형조차 이루지 못했다. 세 나라 모두의 표석 위치가 주어질 때, 다음이 모두 성립해야 한다.

• 각 나라에 대해, 국경 표석들을 이은 닫힌 꺾은선은 다각형이어야 한다. 즉 꼭짓점이 세 개 이상이고, 넓이가 0이 아니며, 자기 자신과 교차하거나 맞닿거나 구멍을 이루는 부분이 없어야 한다.
• 아스트리아 다각형과 압스트리아 다각형의 내부는 서로 겹치지 않아야 한다.
• 아스트리아와 압스트리아의 합집합은 정확히 아압스트리아와 같아야 한다.

이 모든 조건이 참인지 확인하는 프로그램을 작성하라.

첫 번째 줄에는 아스트리아의 국경 표석 개수 $n_a$ ($1 \le n_a \le 10000$)가 주어진다. 이어지는 $n_a$개의 줄에는 각각 정수 두 개가 주어지며, 이는 국경을 따라 시계 방향 또는 반시계 방향 순서로 나열한 한 표석의 좌표이다.

그다음에는 압스트리아, 이어서 아압스트리아의 정보가 같은 형식으로 주어진다.

모든 좌표의 절댓값은 $10^5$ 이하이다. 서로 다른 나라에 속한 경우에만 두 표석이 같은 위치에 있을 수 있다.

다음 문자열 중 정확히 하나만 한 줄에 출력한다.

• 아스트리아의 표석들이 다각형을 이루지 못하면 Aastria is not a polygon을 출력한다.
• 그렇지 않고 압스트리아의 표석들이 다각형을 이루지 못하면 Abstria is not a polygon을 출력한다.
• 그렇지 않고 아압스트리아의 표석들이 다각형을 이루지 못하면 Aabstria is not a polygon을 출력한다.
• 그렇지 않고 아스트리아와 압스트리아의 내부가 서로 겹치면 Aastria and Abstria intersect를 출력한다.
• 그렇지 않고 아스트리아와 압스트리아의 합집합이 아압스트리아와 같지 않으면 The union of Aastria and Abstria is not equal to Aabstria를 출력한다.
• 그 외의 경우 OK를 출력한다.