레이저 발사

당신은 드로이드이며, 거울로 된 정사각형 방 안에 있는 제다이를 맞히려 합니다. 제다이는 광선검으로 레이저 하나를 막을 수 있으므로 정면으로 한 발만 쏘는 것은 소용이 없습니다. 대신 두 발의 레이저를 쏘아 서로 다른 두 방향에서 같은 순간에 제다이에게 도달하도록 하면, 제다이는 두 발을 동시에 막을 수 없습니다.

벽은 거울이라 레이저가 반사되지만, 거울이 완벽하지 않아 각 레이저는 사라지기 전까지 최대 $n$번만 튕길 수 있습니다. 당신은 레이저 권총 두 자루와 드로이드의 반사 신경을 지녀, 두 발을 임의로 작은 간격(동시 발사 포함)으로 쏠 수 있습니다. 레이저의 속력이 일정하므로 두 발이 동시에 도달하려면 두 발을 쏘는 시간 간격이 두 경로 길이의 차이와 같아지며, 목표는 이 간격을 최소화하는 것입니다.

방은 한 변이 $1{,}000{,}000$피트인 정사각형으로, 왼쪽 아래 꼭짓점이 $(0, 0)$, 오른쪽 위 꼭짓점이 $(1{,}000{,}000, 1{,}000{,}000)$입니다. 당신은 $(x_1, y_1)$에, 제다이는 $(x_2, y_2)$에 있습니다. 여기저기 튕긴 레이저가 나중에 당신의 위치 $(x_1, y_1)$를 다시 지나가더라도 그대로 진행합니다(직접 계획한 발사이므로 피할 수 있습니다). 그러나 레이저는 제다이의 위치 $(x_2, y_2)$에 처음 도달하는 즉시 멈춥니다. 반사는 입사각과 반사각이 같다는 일반적인 규칙을 따르며 지연 시간을 추가하지 않습니다. 정확히 꼭짓점(코너)을 향해 쏜 레이저는 온 방향의 정반대로 되돌아 나오며, 이때 두 번 튕긴 것으로 셉니다. 레이저는 $1$나노초에 $1$피트를 이동합니다.

마지막에 같은 방향으로 도달하는 두 발은 하나의 각도로 취급합니다(제다이가 함께 막을 수 있습니다). 따라서 두 레이저는 반드시 서로 다른 방향에서 제다이에게 도달해야 합니다.

입력은 여러 개의 테스트 케이스로 이루어집니다. 각 테스트 케이스는 공백으로 구분된 다섯 정수 $x_1$, $y_1$, $x_2$, $y_2$, $n$이 한 줄에 주어집니다. $(x_1, y_1)$은 당신의 위치, $(x_2, y_2)$는 제다이의 위치, $n$은 최대 반사 횟수입니다. 제약 조건은 $1 \le x_1, y_1, x_2, y_2 \le 999{,}999$, $1 \le n \le 100$이며, 드로이드와 제다이는 항상 서로 다른 위치에 있습니다. 즉 $(x_1, y_1) \ne (x_2, y_2)$입니다. $0\ 0\ 0\ 0\ 0$ 줄은 입력의 끝을 나타내며 처리하지 않습니다.

각 테스트 케이스마다 두 레이저를 쏘는 사이의 최소 지연 시간(나노초)을 소수점 아래 정확히 $5$자리로 반올림하여 한 줄에 출력합니다. 어떤 답도 반올림 경계로부터 $10^{-6}$ 이내에 있지 않도록 테스트 데이터가 구성되어 있습니다.