현수막

Bessie가 긴 해외여행을 마치고 돌아옵니다. Farmer John은 그녀를 맞이하려고 목장에 "Welcome Home" 현수막을 걸려고 합니다. 현수막은 두 기둥 사이에 걸린 철사에 매달리며, 이 철사의 길이는 $L_1 \dots L_2$ 범위 안에 있어야 합니다 ($1 \le L_1 \le L_2 \le 1{,}500$).

목장의 크기는 $W \times H$이고 ($1 \le W \le 1{,}000$; $1 \le H \le 1{,}000$), Farmer John은 정수 좌표를 가진 모든 지점에 기둥을 세워 두었습니다. 이 $(W + 1) \times (H + 1)$개의 지점 중에서 철사의 양 끝을 고정할 두 지점을 정확히 골라야 합니다.

현수막이 방해받지 않도록, Farmer John은 팽팽하게 당겨진 철사 바로 아래에 다른 기둥이 놓이지 않기를 요구합니다. 즉, 두 끝점을 잇는 선분 위(양 끝점 자체는 제외)에 다른 기둥이 정확히 놓여 있으면 안 됩니다.

현수막을 걸 수 있는 방법의 수, 곧 두 기둥 사이의 직선 거리가 $[L_1, L_2]$ 안에 있으면서 그 선분 위에 다른 기둥이 없는, 순서를 구분하지 않는 기둥 쌍의 개수를 세십시오. 답은 매우 클 수 있으며 32비트 정수의 범위를 넘을 수 있습니다.

예시 설명. $W = 2$, $H = 1$인 목장을 생각해 봅시다. 기둥들은 아래와 같은 격자를 이룹니다.

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현수막 길이가 $2 \dots 3$ 범위여야 한다고 합시다. 이 목장에는 $(2+1) \times (1+1) = 6$개의 기둥이 있고, 가능한 쌍은 $\binom{6}{2} = 15$개입니다. 이 중에서 길이가 $[2, 3]$ 안에 드는 것은 네 개뿐입니다.

쌍	길이
(0,0)-(2,0)	2.00
(0,0)-(2,1)	2.24
(0,1)-(2,0)	2.24
(0,1)-(2,1)	2.00

이 네 개 중에서 (0,0)-(2,0)과 (0,1)-(2,1)은 두 끝점을 잇는 선분 위에 다른 기둥이 정확히 놓이므로 사용할 수 없습니다. 남은 두 쌍만이 조건을 만족하므로 답은 2입니다.

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