다섯 기준으로 저글링하기

길이 $n$인 순열 $p = (p_1, p_2, \ldots, p_n)$은 $1$부터 $n$까지의 정수를 각각 정확히 한 번씩 담은 배열이다. 다음 다섯 가지 기준은 순열 $p$가 항등 순열 $(1, 2, \ldots, n)$에 얼마나 가까운지를 나타낸다.

• $a(p)$ — $p$의 역위(inversion) 개수: $i < j$이면서 $p_i > p_j$인 인덱스 쌍 $(i, j)$의 수.
• $b(p)$ — $p$의 인접 역위(local inversion) 개수: $p_i > p_{i+1}$인 인덱스 $i$의 수.
• $c(p)$ — $p$의 최장 증가 부분수열(LIS) 길이: $i_1 < i_2 < \cdots < i_k$이면서 $p_{i_1} < p_{i_2} < \cdots < p_{i_k}$인 수열의 최대 길이.
• $d(p)$ — $p$의 최장 증가 연속 구간 길이: $p_i < p_{i+1} < \cdots < p_j$를 만족하는 연속한 구간의 최대 길이.
• $e(p)$ — $p$의 고정점(fixed point) 개수: $p_i = i$인 인덱스 $i$의 수.

이 다섯 기준은 서로 독립적으로 변할 수 있다. 각 기준마다 $p$에서의 값이 $q$에서의 값보다 작은지, 같은지, 큰지를 미리 정해 준 조합이 주어졌을 때, 그 조합을 정확히 실현하는 같은 길이의 두 순열 $p$와 $q$를 찾는 것이 목표다.

주어진 각 관계 집합과 고정된 길이 $l$에 대해, 길이 $l$인 그런 순열 쌍이 존재하는지 판정하라.

첫 줄에는 두 정수 $n$과 $l$이 주어진다. 각각 관계 집합의 개수와 순열의 길이이다 ($1 \le n \le 243$; $1 \le l \le 1000$).

이어지는 $n$개의 줄에는 각각 다섯 개의 문자로 이루어진 관계 집합이 하나씩 주어진다. 각 문자는 $\texttt{<}$, $\texttt{=}$, $\texttt{>}$ 중 하나이며, 순서대로 $a(p)$와 $a(q)$, $b(p)$와 $b(q)$, $c(p)$와 $c(q)$, $d(p)$와 $d(q)$, $e(p)$와 $e(q)$ 사이에 원하는 관계를 나타낸다.

각 관계 집합에 대해, 다섯 관계를 모두 동시에 만족하는 길이 $l$의 두 순열 $p$와 $q$가 존재하면 $\texttt{Exists}$를, 그렇지 않으면 $\texttt{Not exists}$를 출력하라.

입력에 주어진 순서대로 각 관계 집합의 답을 한 줄에 하나씩 출력한다.

다섯 관계는 하나의 순열 쌍 $(p, q)$에 대해 동시에 성립해야 한다.

예를 들어 $p = (1, 4, 2, 3)$, $q = (2, 3, 4, 1)$이라 하면

• $a(p) = 2 < 3 = a(q)$,
• $b(p) = 1 = 1 = b(q)$,
• $c(p) = 3 = 3 = c(q)$,
• $d(p) = 2 < 3 = d(q)$,
• $e(p) = 1 > 0 = e(q)$

이므로, 이 쌍은 길이 $4$에서 관계 집합 $\texttt{<==<>}$를 실현한다.