기하 놀이

동적 기하 소프트웨어는 도형에 변환을 적용한 결과를 그대로 보여 주므로 변환 기하를 이해하는 데 도움이 된다. 앨리스는 기본 변환인 밀기, 뒤집기, 돌리기, 곧 평행이동과 반사와 회전을 배우고 있다. 오늘 다루는 것은 밀기와 돌리기다.

앨리스가 다루는 도형은 정사각형 격자 위에 그린 단순 직각다각형이다. 각 도형은 격자선 하나마다 변을 많아야 한 개 놓고, 꼭짓점은 모두 격자점이다.

앨리스가 쓰는 정의는 다음과 같다.

직각다각형은 인접한 두 변이 항상 직각으로 만나는 다각형이다.
단순다각형에서 변은 끝점에서만 만난다. 꼭짓점은 변이 만나는 점이다.
격자 위에 놓인 직각다각형이 둘러싸는 영역은 단위 정사각형으로 이루어진 폴리오미노(polyomino)에 대응한다.
퍼뮤토미노(permutomino)는 자신의 최소 경계 직사각형과 만나는 모든 격자선 위에 변이 정확히 하나씩 있는 폴리오미노다. 이때 최소 경계 직사각형은 실제로 정사각형이 된다. 꼭짓점이 $n$ 개인 퍼뮤토미노에서 이 정사각형은 가로 격자선 $n/2$ 개, 세로 격자선 $n/2$ 개와 만난다.

앨리스는 일직선으로 이어지는 변이 없는 단순 직각다각형 두 개를 받는다. 정해진 규칙 안에서 밀기와 돌리기만 써서 두 도형을 같은 퍼뮤토미노로 바꿀 수 있는지 판정해야 한다. 두 도형은 서로 다른 격자에 놓인 것처럼 독립으로 처리한다.

먼저 최소 경계 직사각형에서 빈 격자선을 없애 퍼뮤토미노를 만든다. 변을 왼쪽이나 아래로 밀어서 없애되 변 사이의 상대 순서는 그대로 둔다. 즉 평면을 수직선이나 수평선으로 훑을 때 변이 나타나는 순서가 밀기 전과 같아야 한다.

퍼뮤토미노를 얻은 다음에는 최소 경계 정사각형의 중심을 기준으로 시계 방향 90도 회전을 원하는 횟수만큼 적용할 수 있다.

이런 도형 두 개가 주어질 때 앨리스의 물음에 답하라.

첫째 줄에 첫 번째 직각다각형의 정보가 주어진다. 꼭짓점의 개수가 먼저 오고, 그 뒤에 표준 데카르트 좌표계에서의 꼭짓점 좌표가 차례로 온다. 꼭짓점은 반시계 방향으로 주어지며, 맨 아래 수평 변에서 가장 왼쪽에 있는 꼭짓점부터 시작한다. 마지막 수직 변은 마지막 꼭짓점과 첫 꼭짓점이 이룬다. 최소 경계 직사각형의 왼쪽 아래 꼭짓점은 항상 $(0, 0)$ 이다.

둘째 줄에 두 번째 직각다각형의 정보가 같은 형식으로 주어진다. 두 도형의 꼭짓점 개수는 다를 수 있다.

각 도형에서 꼭짓점의 개수는 짝수이고 $4$ 이상 $500$ 이하다. 각 꼭짓점의 좌표 $(x, y)$ 는 $0 \le x \le 3000$ , $0 \le y \le 3000$ 을 만족한다.

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