톱니바퀴 회전비

평면에 톱니바퀴 여러 개가 놓여 있다. 각 톱니바퀴의 중심 좌표와 반지름은 모두 정수다. 두 톱니바퀴는 바깥쪽에서 맞닿을 때, 즉 두 중심 사이의 거리가 두 반지름의 합과 같을 때 서로 맞물린다.

맞물린 두 톱니바퀴는 서로 반대 방향으로 돌고, 회전 수의 비는 반지름의 비와 반대다. 반지름이 $r_1$인 톱니바퀴가 한 바퀴 도는 동안 맞물린 반지름 $r_2$짜리 톱니바퀴는 $r_1/r_2$바퀴 돈다.

입력 톱니바퀴를 돌리려 할 때 출력 톱니바퀴가 어떻게 되는지 판정한다. 결과는 셋 중 하나다.

• 입력 톱니바퀴를 돌리면 어떤 톱니바퀴가 두 방향으로 동시에 돌아야 하므로, 입력 톱니바퀴가 아예 움직이지 못한다.
• 입력 톱니바퀴는 움직이지만, 출력 톱니바퀴와 이어져 있지 않다.
• 입력 톱니바퀴가 출력 톱니바퀴를 정해진 비율로 돌린다.

입력 톱니바퀴가 움직이지 못하면, 두 톱니바퀴가 이어져 있지 않더라도 첫 번째 결과를 답한다.

첫째 줄에 톱니바퀴의 개수 $n$이 주어진다 ($2 \le n \le 1000$).

다음 $n$개 줄에는 $i$번째 톱니바퀴의 중심 좌표와 반지름을 나타내는 정수 $x_i$, $y_i$, $r_i$가 공백으로 구분되어 주어진다 ($-10^4 \le x_i, y_i \le 10^4$, $1 \le r_i \le 10^4$).

톱니 수는 맞물린 톱니바퀴가 언제나 제대로 물릴 만큼 충분히 많다고 가정한다. 어떤 두 톱니바퀴도 겹치지 않는다. 목록의 첫 번째 톱니바퀴가 입력 톱니바퀴이고, 마지막 톱니바퀴가 출력 톱니바퀴다.

입력 톱니바퀴가 움직이지 못하면 한 줄에 The input gear cannot move. 를 출력한다.

입력 톱니바퀴는 움직이지만 출력 톱니바퀴와 이어져 있지 않으면 한 줄에 The input gear is not connected to the output gear. 를 출력한다.

그 밖의 경우에는 입력 톱니바퀴의 회전에 대한 출력 톱니바퀴의 회전 비를 기약 형태의 ##:## 꼴로 한 줄에 출력한다. 출력 톱니바퀴가 입력 톱니바퀴와 반대 방향으로 돌면 비를 음수로 적는다. 예를 들어 입력 톱니바퀴가 반시계 방향으로 두 바퀴 도는 동안 출력 톱니바퀴가 시계 방향으로 세 바퀴 돌면 -3:2를 출력한다.