불운한 89

아미르는 89가 자신에게 불운을 가져다주는 수라고 생각한다. 그래도 89가 궁금해서 찾아보다가, 89가 24번째 소수이면서 피보나치 수라는 사실을 알아냈다.

요즘 아미르는 직각삼각형을 공부한다. 두 직각변의 길이가 모두 정수이고 빗변의 길이가 $\sqrt{89}$의 정수배인 직각삼각형을 불운한 삼각형이라고 부른다. 예를 들어 세 변이 $(5, 8, \sqrt{89})$인 직각삼각형은 불운하다. $(4, 47, 5\sqrt{89})$, $(17, 44, 5\sqrt{89})$, $(10, 16, 2\sqrt{89})$도 불운하다.

불운한 삼각형의 에너지는 빗변의 길이를 $\sqrt{89}$로 나눈 값이다. 빗변이 $k\sqrt{89}$이면 에너지는 $k$다. $(5, 8, \sqrt{89})$의 에너지는 $1$이고, $(71, 100, 13\sqrt{89})$의 에너지는 $13$이다.

에너지가 $n$ 이하인 불운한 삼각형을 모두 모았을 때 둘레의 평균을 구하라. 둘레는 세 변의 길이를 더한 값이다. 모양과 크기가 같은 삼각형은 한 번만 센다. 아미르는 오차 없는 정확한 답을 원한다.

입력은 여러 개의 테스트 케이스로 이루어진다. 각 줄에 정수 $n$이 하나씩 주어지고, 입력이 끝날 때까지 이어진다. ($1 \le n \le 10^8$, 입력에 나오는 모든 $n$의 합은 $2 \times 10^8$ 미만)

테스트 케이스마다 다섯 줄을 출력한다. 평균 둘레는 항상 $A + B\sqrt{89}$ 꼴이고 $A$와 $B$는 유리수다. $A$와 $B$를 각각 대분수로 적어 다음 모양의 상자에 넣는다.

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*          Numerator1             Numerator2    __*
*Integer1------------ + Integer2------------ x V89*
*        Denominator1           Denominator2      *
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• 두 대분수는 모두 기약분수로 적는다.
• 분자가 0이면 진분수 부분을 빼고 정수 부분만 적는다.
• Numerator2가 0이고 Integer2가 1이면 "1 x " 부분도 함께 뺀다.
• 분수선은 '-'를 분모의 자릿수만큼 이어 붙인 것이다. 분자는 분수선 위에 오른쪽 정렬해 적고, 분모는 분수선 바로 아래에 적는다.
• 근호는 'V89'로 적고, '89' 바로 위 두 칸에 '_'를 하나씩 놓는다.
• 상자의 너비는 가운데 줄의 길이에 맞춘다. 첫 줄과 마지막 줄은 ''로만 채우고, 가운데 세 줄은 ''로 시작해 '*'로 끝난다.
• 숫자 말고 쓰는 문자는 '*'(아스키 코드 42), ' '(32), '_'(95), '-'(45), 'x'(120), 'V'(86)뿐이다.
• 테스트 케이스 하나를 출력할 때마다 그 뒤에 빈 줄을 하나 넣는다.

$n$이 $10^8$이면 모양이나 크기가 서로 다른 불운한 삼각형이 $637149947$개 있다.

$n = 8$인 경우를 보자. 에너지가 8 이하인 불운한 삼각형은 $(5, 8, \sqrt{89})$, $(10, 16, 2\sqrt{89})$, $(15, 24, 3\sqrt{89})$, $(20, 32, 4\sqrt{89})$, $(4, 47, 5\sqrt{89})$, $(17, 44, 5\sqrt{89})$, $(25, 40, 5\sqrt{89})$, $(30, 48, 6\sqrt{89})$, $(35, 56, 7\sqrt{89})$, $(40, 64, 8\sqrt{89})$의 열 개다. 둘레를 모두 더하면 $580 + 46\sqrt{89}$이므로 평균은 $(580 + 46\sqrt{89}) / 10$이다.