탄성 충돌

탄성 충돌은 운동 에너지가 보존되는 충돌이다. 1차원 상에서 질량이 $m_1$, $m_2$인 두 물체가 각각 속도(여기서 속도는 방향을 포함하는 양이다) $u_1$, $u_2$로 운동하다가 탄성 충돌하면 충돌 후 두 물체의 속도는 각각

$v_1 = \frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}u_1 + \frac{2m_2}{m_1+m_2}u_2$

$v_2 = \frac{2m_1}{m_1+m_2}u_1 - \frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}u_2$

이다. 예를 들어 질량 $2m$인 물체가 왼쪽에서 속도 $v$로 다가오고 질량 $m$인 물체가 오른쪽에서 속도 $-v$로 다가와 탄성 충돌하면 충돌 후 둘의 속도는 각각 $-v/3$과 $5v/3$이 된다. 여기서 속도의 부호는 왼쪽에서 오른쪽으로 운동하는 것을 (+)로 두었다. 한편 움직이지 않는 벽과 물체가 탄성 충돌하면 물체의 속력은 그대로이고 운동 방향만 반대가 된다. 즉, 속도의 부호만 달라진다.

이제 아래 그림과 같이 왼쪽이 벽으로 막힌 1차원 평면에서 운동하는 두 물체 $A$와 $B$를 생각하자. $A$의 질량은 1이고 처음에는 정지해 있다. $B$의 질량은 $N^2$이고 처음에는 $A$의 오른쪽에서 다가온다. 이때 총 충돌 횟수($A$와 $B$ 사이 충돌과 벽과 $A$ 사이 충돌을 모두 센다)는 몇 번일까? 모든 마찰은 무시하고 모든 충돌은 탄성 충돌이다.

첫째 줄에 양의 정수 $N$이 입력된다. (1 ≤ $N$ ≤ 500)

총 충돌 횟수를 출력한다.

Python의 fractions 모듈 사용을 적극 권장한다.