회전 변환

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요약

3x3 회전 행렬이 주어질 때, 이 행렬을 만드는 회전각(도 단위)과 단위 축 벡터를 구합니다.

난이도: 보통10점 중 6점
유형: 기하, 행렬, 수학
정답자: 아직 제출이 없습니다

문제

줄리아는 단순한 운동을 아주 좋아하며, 특히 3차원 공간에서의 운동을 좋아한다. 최근 그녀는 원점을 지나는 축을 중심으로 한 회전에 대응하는 행렬을 찾았다. 이 회전은 단위 벡터 $v = \begin{pmatrix} v_x \\ v_y \\ v_z \end{pmatrix}$ 와 회전각 $\alpha$ 로 정해진다.

$v$ 의 끝에서 원점을 바라볼 때 회전이 반시계 방향이면 $\alpha$ 는 양수이고, 그렇지 않으면 음수이다.

회전 행렬은 점 $\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$ 를 다음과 같이 $\begin{pmatrix} x' \\ y' \\ z' \end{pmatrix}$ 로 옮긴다.

\begin{pmatrix} x' \\ y' \\ z' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} & A_{13} \\ A_{21} & A_{22} & A_{23} \\ A_{31} & A_{32} & A_{33} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}.

줄리아는 $v$ 와 $\alpha$ 의 값을 모른다. 그녀는 단순한 운동을 이어가기 위해 이 값들을 복원해 달라고 부탁했다.

입력

행렬 $A$ 가 주어진다. 모든 $i$ , $j$ 에 대해 $|A'_{ij} - A_{ij}| < 10^{-13}$ 을 만족하는 회전 행렬 $A'$ 가 존재함이 보장된다.

출력

첫째 줄에 각도 $\alpha$ 를 도 단위로 출력한다. 둘째 줄에 단위 벡터 $v$ 의 좌표를 출력한다. $1 \le |\alpha| \le 179$ 가 보장된다. 모든 수는 가능한 한 정밀하게 출력한다. 출력한 각도와 벡터로 만든 행렬과 각 $A_{ij}$ 의 차이가 $10^{-6}$ 을 넘지 않으면 정답으로 인정한다.

예제1

예제 1
입력
```
0 -1 0
1 0 0
0 0 1
```
예상 출력
```
90
0 0 1
```