Mooball 팀 나누기 III

Farmer John의 농장에는 $N$마리의 소가 있다 ($2 \leq N \leq 2\cdot 10^5$). 소에는 $1$부터 $N$까지 번호가 매겨져 있다. $i$번 소는 정수 좌표 $(x_i, y_i)$에 있다 ($1\le x_i,y_i\le N$). Farmer John은 mooball 경기를 위해 두 팀을 고르려고 한다.

한 팀은 "빨강" 팀, 다른 팀은 "파랑" 팀이다. 두 팀 모두 비어 있으면 안 되고, 각 소는 최대 한 팀에만 속한다(어느 팀에도 속하지 않을 수 있다). mooball에는 규칙이 하나 더 있다. 무한히 긴 그물을 $x = 0.5$처럼 정수가 아닌 좌표에서 수평선 또는 수직선으로 쳐야 하며, 두 팀은 이 그물로 나뉘어야 한다. 소들은 이 조건을 만족시키려고 움직이지 않는다.

이 조건을 모두 만족하는 빨강 팀과 파랑 팀을 고르는 방법의 수를 $10^9+7$로 나눈 나머지를 구하라.

첫째 줄에 정수 $N$이 주어진다.

다음 $N$개의 줄에는 공백으로 구분된 두 정수 $x_i$와 $y_i$가 각각 주어진다. $x_i$는 $1$부터 $N$까지의 순열이고, $y_i$도 $1$부터 $N$까지의 순열이다.

조건을 모두 만족하는 빨강 팀과 파랑 팀을 고르는 방법의 수를 $10^9+7$로 나눈 나머지를 한 줄에 출력한다.