멀티버스를 여행하는 성재를 위한 안내서

우리가 사는 우주의 물리법칙에 따르면 중력의 크기는 $\lvert \vec{F} \rvert = \lvert \sum {{Gm_1m_2 \over r^2} \hat{r}} \rvert$와 같이 작용한다. 멀티버스 여행을 하던 성재는 중력의 크기가 $\lvert \vec{F} \rvert = \prod \lvert {r^2 \over Gm_1m_2} \rvert$과 같이 작용하는 우주를 찾았다.

계산의 편의를 위해 상수 $G$와 모든 천체의 질량과 성재의 질량을 $1$이라고 가정하자.

예를 들어 성재 주위에 $3$개의 천체가 있고 각각 성재로부터 거리가 $2$, $3$, $5$만큼 떨어져 있다면 중력의 크기는 $2^2 \times 3^2 \times 5^2=900$ 이 된다.

2차원 좌표평면 위에 천체 $N$개가 있고 성재는 원점에서부터 거리 $R$ 이내의 균등한 확률로 결정된 무작위 위치로 순간이동한다. 이때 성재가 받게 될 중력의 크기의 기댓값을 구해 보자.

첫째 줄에 천체의 개수 $N$, 영역의 반지름 $R$이 공백으로 구분되어 주어진다. $(1 \le N \le 10^5;$ $1 \le R \le 10^8)$

둘째 줄부터 $N$개의 줄에 걸쳐 각 천체의 좌표 $(x, y)$를 나타내는 두 수 $x$, $y$가 한 줄에 하나씩 공백으로 구분되어 주어진다. $(\lvert x \rvert \le 10^8;$ $\lvert y \lvert \le 10^8)$

두 천체가 같은 좌표에 있을 수 있다.

입력으로 주어지는 모든 수는 정수이다.

중력의 크기의 기댓값을 기약분수 $a \over b$로 나타냈을 때 $a \times b^{-1} \, \bmod \, 998 \, 244 \, 353$을 출력한다. $b^{-1}$은 $b$의 모듈러 곱셈에 대한 역원이다.

기댓값이 유리수인 입력만 주어진다. 기댓값의 분모가 $998 \, 244 \, 353$의 배수인 입력은 주어지지 않는다.

두 점 $(x_1, y_1)$, $(x_2, y_2)$ 사이의 거리는 $\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$로 정의한다.

넓이가 양수인 2차원 영역 $S$에서 정의된 함수 $f$에 대해 $S$ 위에서 $f$의 기댓값은 ${1 \over {\lvert S \rvert}}\iint_S f dA$로 정의한다. $\lvert S \rvert$는 $S$의 면적이다.