Central Limit TheoremIf i.i.d. x1,⋯xnx_1, \cdots x_nx1,⋯xn and σx2<∞\sigma_x^2 < \inftyσx2<∞ then: std(xn‾)→dZ∼N(0, 1)\text{std}(\overline{x_n}) \rightarrow^d \mathbb{Z} \sim \mathbb{N}(0,~1)std(xn)→dZ∼N(0, 1) std(∑k=1nxn)→dZ∼N(0, 1)\text{std}(\sum\limits_{k=1}^n{x_n}) \rightarrow^d \mathbb{Z} \sim \mathbb{N}(0,~1)std(k=1∑nxn)→dZ∼N(0, 1) std(xn‾)→Xn‾−μxσxn\text{std}(\overline{x_n}) \rightarrow {{\overline{X_n} - \mu_x} \over {\sigma_x \over \sqrt{n}}}std(xn)→nσxXn−μx ∑k=1nXn−nμxσxn{\sum\limits_{k=1}^n X_n - n\mu_x} \over \sigma_x \sqrt{n}σxnk=1∑nXn−nμx V[∑k=1nXk]=nσx2=n2×σx2n\mathbb{V}[\sum\limits_{k=1}^n X_k] = n \sigma_x^2 = n^2 \times {\sigma_x^2 \over n}V[k=1∑nXk]=nσx2=n2×nσx2
