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Poisson Law

b(n, p)dP(λ) if n1 & p1 & λ=npb(n,~p) \xrightarrow{d} P(\lambda) ~ \text{if} ~ n \gg 1 ~ \& ~ p \ll 1 ~ \& ~ \lambda = np

Proof

limnb(n, p)=limn(nx)px(1p)nx=limnn!(nx)! x!px(1p)nx\lim_{n \to \infty} b(n, ~p) = \lim_{n \to \infty} {n \choose x} p^x (1-p) ^{n-x} = \lim_{n \to \infty} {n! \over {(n-x)! ~ x!}} p^x (1-p) ^{n-x} =limnn!x!(nx)!λxnx(1λn)nx=λxx!limnn!(nx)!1nx(1λn)nx= \lim_{n \to \infty} {n! \over {x! (n-x)!}} {\lambda^x \over n^x} (1-{\lambda \over n})^{n-x} = {\lambda^x \over x!} \lim_{n \to \infty} {n! \over {(n-x)!}} {1 \over n^x} (1- {\lambda \over n})^{n-x} =λxx!limnnnn1nn2nnx+1n(1λn)n(1λn)x= {\lambda^x \over x!} \lim_{n \to \infty} {n \over n} {{n-1} \over n} {{n-2} \over n} \cdots {{n-x+1} \over n} (1 - {\lambda \over n})^n (1 - {\lambda \over n})^{-x} =λxx!limn1limnn1nlimnnx+1nlimn(1λn)nlimn(1λn)x= {\lambda^x \over x!} \lim_{n \to \infty} 1 \cdot \lim_{n \to \infty} {{n-1} \over n} \cdots \lim_{n \to \infty} {{n-x+1} \over n} \lim_{n \to \infty} ({1- {\lambda \over n}})^n \lim_{n \to \infty} ({1- {\lambda \over n}})^{-x} =λxx!limn(1+λn)n=λxeλx!= {\lambda^x \over x!} \lim_{n \to \infty} (1+ {-\lambda \over n})^n = {{\lambda^x e^{-\lambda}} \over x!}

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