자연수 멱집합 $\mathcal P(\mathbb N)$의 포함 관계 $\subseteq$에는 임의의 가산 순서를 동형인 부분순서로 매장할 수 있음
순서 $\langle L,\preceq\rangle$의 각 원소 $q$를 그 하향 폐집합 $q\downarrow={p\in L\mid p\preceq q}$에 대응시키면, $p\preceq q$일 때 그리고 그때만 $p\downarrow\subseteq q\downarrow$가 성립함
가산 집합 $L$을 ${p_0,p_1,p_2,\ldots}$로 열거하고 $A_p={n\in\mathbb N\mid p_n\preceq p}$로 두면, 원래 순서를 자연수 부분집합들의 포함 관계로 직접 표현할 수 있음
초기 구간들의 사슬로 자연수 순서 $\langle\mathbb N,\leq\rangle$를, 여집합 사슬로 무한 하강 순서를 만들 수 있으며, 홀수 집합에서 짝수를 하나씩 더하고 홀수를 하나씩 빼는 방식으로 정수 순서 $\langle\mathbb Z,\leq\rangle$도 구성함
각 집합의 한 원소 추가·제거는 이산적인 인접 관계를 만들지만, 이 매장 정리에 따라 유리수 순서 $\langle\mathbb Q,\leq\rangle$ 같은 조밀 순서도 $\mathcal P(\mathbb N)$ 안에 포함됨
cho.sh