불의 군주 라그나로스 1

불의 세례를 받아라!

하스스톤에 등장하는 불의 군주 라그나로스는 직접 공격은 할 수 없지만 내 턴이 끝날 때 무작위 적에게 피해를 $8$ 주는 전설 카드다.

평소 하스스톤을 즐겨하는 '아시나요'와 '누구냐요'는 오랜만에 만나서 친선전으로 한 판 붙기로 했다. 유틸은 두 사람의 친선전이 재밌어 보여 관전하기 시작했다. 두 사람은 공방전을 치열하게 벌였고 어느덧 게임은 후반부에 접어들게 되었다. 현재 아시나요의 필드에는 불의 군주 라그나로스가 2마리 있고, 누구냐요의 필드에는 하수인이 5마리 있는 상황이다. 이번 턴이 끝날 때 불의 군주 라그나로스 중 $1$마리가 누구냐요의 영웅에게 피해를 입히면 승리할 수 있지만, 2마리 모두 누구냐요의 영웅에게 피해를 입히지 못하면 다음 턴에 아시나요가 무조건 패배하는 상황이다. '턴 종료'를 누르며 "확률은 이기거나 지거나 1/2이야!"라고 기도하는 아시나요를 보며 한심하게 느낀 유틸은 승리할 확률을 정확하게 계산하는 프로그램을 만들어 주기로 했다. 다만 하스스톤에 한정하지 않고 좀 더 일반화해서 만들기로 했다.

이해를 돕기 위해 몇 가지 용어를 간단히 정의한다.

• 영웅이란 게임 내에서 전투를 벌이는 주체를 의미한다.
• 하수인이란 전투를 벌이는 영웅의 대행자를 부르는 카드를 의미한다.
• 필드란 하수인들이 소환되어 전투를 벌일 수 있는 장소를 의미한다.
• 직접 공격이란 하수인이나 영웅이 전투를 통해 별도의 특수 효과 없이 상대 하수인이나 영웅에게 바로 피해를 주는 기본 공격 행위를 의미한다.

이제 다음과 같은 상황을 가정하자.

• 현재 자신의 필드에는 불의 군주 라그나로스가 $N$마리 있으며, 상대방의 필드에는 하수인이 $M$마리 있다.

• 상대방의 필드에 있는 하수인의 각 체력은 $H_1, H_2, \cdots, H_M$이며, 상대방 영웅의 체력은 $Y$이다.

• 불의 군주 라그나로스는 이번 턴이 끝날 때 무작위 적에게 피해를 $X$ 주는 효과를 가지고 있다. 이 효과는 다음과 같은 방법으로 처리한다.

  • 불의 군주 라그나로스 $N$마리의 효과를 한 마리씩 차례차례로 처리한다.
  • 불의 군주 라그나로스는 상대방의 하수인들과 영웅 중 하나를 동일한 확률로 선택해서 해당 하수인 혹은 영웅의 체력을 $X$ 줄인다.
  • 이 과정에서 체력이 $0$ 이하가 되는 하수인 혹은 영웅은 파괴되어, 더 이상 불의 군주 라그나로스의 선택 대상이 되지 않는다.
  • 상대방 영웅의 체력이 $0$ 이하가 되어 파괴된 경우 그 즉시 게임에서 승리한다.

• 이번 턴에 불의 군주 라그나로스의 효과 이외에 상대방의 하수인 혹은 영웅에게 피해를 주는 방법은 없다.

• 이번 턴에 상대방 영웅을 파괴하지 못한 경우 게임에서 패배한다.

이번 턴이 끝날 때 상대방 영웅의 체력이 $0$ 이하가 되어 게임에서 승리할 확률은 얼마일까?

첫째 줄에 자신의 필드에 있는 불의 군주 라그나로스의 마릿수 $N$, 상대방의 필드에 있는 하수인의 마릿수 $M$, 내 턴이 끝날 때 불의 군주 라그나로스가 무작위 적에게 주는 피해 $X$와 상대방 영웅의 체력 $Y$가 공백으로 구분되어 주어진다. $(1 \leq N \leq 20; 1 \leq M \leq 120; 1 \leq X \leq 100; 1 \leq Y \leq 500)$

둘째 줄에 상대방의 필드에 있는 각 하수인의 체력 $H_1, H_2, \cdots, H_M$이 공백으로 구분되어 주어진다. $(1 \leq H_i \leq 1000)$

입력으로 주어지는 수는 모두 정수이다.

첫째 줄에 게임에서 승리할 확률을 $998\,244\,353$로 나눈 나머지를 출력한다.

유리수를 기약분수로 나타냈을 때 $\frac{y}{x}$인 경우, 이 수를 소수인 $p$로 나눈 나머지는 $xz \equiv y \pmod{p}$을 만족하는 $0$ 이상 $p$ 미만의 정수 $z$이며, $x$가 $p$의 배수가 아닌 경우 이 값은 유일하다.

이 문제에서 게임에서 승리할 확률은 유리수이며, 분모가 $998\,244\,353$의 배수가 아님을 증명할 수 있다. 또한, $998\,244\,353$은 소수이다.