거짓말쟁이

두 친구 경곽이와 구름이는 다음과 같은 규칙의 게임을 하고 있다.

1. 양의 정수 $k$를 정한다. 이 수는 경곽이와 구름이 모두 알고 있다.

2. 구름이가 양의 정수 $n$과 $x$를 선택한 후, 경곽이에게는 $n$만 알려준다. ($1 \leq x \leq n$)

3. 경곽이는 구름이에게 양의 정수를 원소로 가지는 집합 $S$를 하나 정해 말한다.

4. 구름이는 경곽이에게 $x$가 $S$에 속하는지 속하지 않는지 대답한다.

   • 단, 구름이는 거짓말을 할 수 있다. $x$가 $S$에 속하지 않지만 $S$에 속한다고 대답할 수 있으며, $x$가 $S$에 속하지만 속하지 않는다고 대답할 수 있다.
   • 구름이는 연속으로 최대 $k$번까지 거짓말을 할 수 있다. 즉, 연속한 $k+1$번의 질문 중 적어도 한 질문에 대한 대답은 진실임이 보장된다.

5. 경곽이가 만족할 때까지 3, 4 과정을 반복한다.

6. 경곽이는 충분한 질문 이후 양의 정수로 이루어진 집합 $S'$을 제시한다. $x$가 $S'$에 속한다면 경곽이가 승리하고, 아니라면 구름이가 승리한다.

   • 경곽이가 승리할 경우, S'의 크기가 작을수록 더 높은 점수를 받을 수 있다. 자세한 내용은 점수 부분을 참고하여라.

여러분은 경곽이가 되어 게임을 진행한다. 구름이는 이미 $k$, $n$ 및 $x$를 정하였다. 구름이의 거짓말을 피해 $x$가 포함된 최종 집합 $S'$을 제시해 게임에서 승리하자.