ApproximationIn Probability, lnโกn!=lnโกโk=1nk=โkโ1nlnโกkโโซx=1nlnโกxย dx\ln n! = \ln \prod\limits_{k=1}^n k = \sum\limits_{k-1}^n \ln k \approx \int_{x=1}^n \ln x ~dxlnn!=lnk=1โnโk=kโ1โnโlnkโโซx=1nโlnxย dx Using integration by parts โซuย dv=uvโโซvย du\int u ~dv = uv - \int v~duโซuย dv=uvโโซvย du d(uv)=vย du+uย dvd(uv) = v~du + u~dvd(uv)=vย du+uย dv u=lnโกx,ย dv=1,ย du=1x,ย v=xu = \ln x,~ dv = 1,~ du = {1 \over x},~v=xu=lnx,ย dv=1,ย du=x1โ,ย v=x โซx=1nlnโกxย dx=[xlnโกxโโซx1xย dx]x=1n\int_{x=1}^n \ln x~dx = [{x \ln x - \int x {1 \over x} ~dx}]^n_{x=1}โซx=1nโlnxย dx=[xlnxโโซxx1โย dx]x=1nโ =[xlnโกxโx]x=1n=nlnโกnโn+1= [x \ln x - x ]^n_{x=1} = n \ln n - n + 1=[xlnxโx]x=1nโ=nlnnโn+1