판돈 올리기

스탠은 크라운 앤드 앵커(Crown & Anchor)라는 도박 게임을 즐긴다. 이 게임에서는 크라운(Crown), 앵커(Anchor), 클럽(Club), 다이아몬드(Diamond), 하트(Heart), 스페이드(Spade)의 여섯 무늬 가운데 하나에 돈을 건다.

바퀴를 돌리면 세 개의 무늬가 나타나는 자리에서 멈춘다(세 무늬가 서로 같을 수도 있다). 스탠이 건 무늬가 그 세 자리에 $n$번 나타났다면, 그는 판돈을 돌려받고 여기에 더해 판돈의 $n$배를 받는다. 즉 순이익은 판돈의 $n$배이다. 건 무늬가 한 번도 나타나지 않으면 판돈을 잃는다.

스탠은 올리에게 내기를 걸었다. 크라운 앤드 앵커로 돈을 딸 수 있다는 것이다. 올리는 스탠이 운 좋게 처음 몇 판을 이길 수도 있음을 알기에, 내기에서 이기려면 스탠이 적어도 $k$판을 마친 뒤에 이익을 보고 있어야 한다고 요구한다. 또한 승부를 빨리 내기 위해, 스탠은 늦어도 $m$판 안에 이익을 내야 한다.

스탠에게는 비책이 있다. 바로 몬테카를로(마틴게일) 베팅 전략이다. 먼저 최소 판돈을 건다. 이기면 이익을 챙기고 다시 최소 판돈을 건다. 지면 판돈을 두 배로 올려서, 다음 판에 이기면 그동안의 손실을 만회하고 이익까지 남기도록 한다. 이 두 배 늘리기는 이길 때까지 계속된다. 이길 때마다 이익을 챙기고 다시 최소 판돈부터 시작한다.

하지만 도박장은 이 전략에 대비해 하우스 리밋 $l$(한 판에 걸 수 있는 최대 판돈)을 두었다. 그래서 스탠은 전략을 조금 바꾼다. 판돈을 두 배로 올리면 하우스 리밋을 넘게 되는 경우에는, 두 배로 올리는 대신 최소 판돈부터 다시 시작하여 나중에 손실을 만회하려 한다.

최소 판돈은 $1$이다. 이 전략을 따를 때, $k$판을 마친 시점부터 $m$판을 마친 시점까지의 어느 순간이든 순이익이 양수가 되면 스탠이 내기에서 이긴다. 스탠이 내기에서 이길 확률을 구하여라.

첫 줄에 테스트 케이스의 개수 $n$이 주어진다. 이후 각 테스트 케이스는 세 정수 $k$, $m$, $l$이 공백으로 구분되어 한 줄에 주어진다. 각각 이익을 보고 있어야 하는 최소 판 수, 최대 판 수, 하우스 리밋을 뜻한다.

• $0 < k < m \le 30$
• $2 \le l \le 1000$
• 최소 판돈은 $1$이다.

각 테스트 케이스마다 스탠이 내기에서 이길 확률을 소수점 아래 넷째 자리까지 반올림하여 한 줄에 출력한다.

바퀴에는 멈출 수 있는 자리가 $28$개 있고, 서로 다른 무늬 조합은 $14$가지이며 각 조합은 바퀴에 두 번씩 나타난다. $14$가지 조합은 다음과 같다.

• 세 무늬가 모두 같은 조합 $6$가지(무늬마다 하나씩)
• 두 무늬만 같은 조합 $6$가지
• 세 무늬가 모두 다른 조합 $2$가지

이 배치는 대칭적이어서 어떤 무늬를 고르더라도 그 무늬의 등장 횟수 분포는 같다. 고른 무늬를 기준으로 자리를 세어 보면 다음과 같다.

• $3$번 등장: $2$자리
• $2$번 등장: $2$자리
• $1$번 등장: $4$자리
• 등장하지 않음: $20$자리

따라서 한 판에서 건 무늬가 등장하는 횟수의 확률은 각각 다음과 같다.

$$P(0) = \frac{20}{28},\quad P(1) = \frac{4}{28},\quad P(2) = \frac{2}{28},\quad P(3) = \frac{2}{28}$$