베팅을 할 것인가, 말 것인가

어떤 사람이 카지노에서 새로운 게임을 발견했다. 이 게임은 아래처럼 일렬로 늘어선 칸 위에서 진행된다.

칩을 처음에 시작(Start) 칸에 놓는다. 플레이어는 여러 번의 턴을 거쳐 칩을 끝(End) 칸으로 옮기려 하며, 칩이 끝 칸에 도달하면 게임이 끝난다.

각 턴에서는 동전을 한 번 던진다.

• 앞면이면 칩을 오른쪽으로 한 칸 옮긴다.
• 뒷면이면 칩을 오른쪽으로 두 칸 옮긴다. 단, 칩이 끝 칸에서 정확히 한 칸 떨어져 있을 때에는 두 칸을 넘어가지 않고 그대로 끝 칸으로 옮긴다.

동전을 던져 도착한 칸에 지시가 적혀 있으면 반드시 그 지시를 따른다. 지시는 다음 네 가지 중 하나다.

1. 오른쪽으로 $n$칸 이동 (여기서 $n$은 양의 정수)
2. 왼쪽으로 $n$칸 이동 (여기서 $n$은 양의 정수)
3. 한 턴 쉬기
4. 지시 없음

지시를 따른 뒤 그 턴이 끝나고 새로운 턴이 시작된다. 칩은 동전을 던져 도착한 칸의 지시만 따른다는 점에 유의하라. 예를 들어 칩이 "왼쪽으로 3칸 이동" 칸에 도착하면 그 이동은 수행하지만, 이동 후 도착한 칸의 지시는 무시하고 턴이 끝난다.

한 턴 쉬기 칸에 도착하면 바로 다음 턴을 쉰다. 쉬는 턴에는 동전을 던지지 않고 칩도 움직이지 않으며, 쉰 턴도 턴 수에 포함된다.

베팅은 다음과 같이 진행된다. 보드 배치와 정수 $T$가 주어질 때, 게임이 $T$번의 턴 이내에 끝날지 아닐지를 예측해 베팅해야 한다.

입력은 여러 개의 테스트 케이스로 이루어진다. 첫 줄에는 테스트 케이스의 개수 $n$이 주어진다. 각 테스트 케이스는 두 줄로 구성된다.

• 첫 줄에는 두 정수 $m$과 $T$가 주어진다 ($1 \le m \le 50$, $1 \le T \le 40$). $m$은 시작 칸과 끝 칸을 제외한 보드의 크기이고, $T$는 목표 턴 수다.
• 둘째 줄에는 $m$개의 내부 칸에 대한 지시가 공백으로 구분되어 주어진다. 각 칸의 지시는 다음 중 하나다.
  • +n : 오른쪽으로 $n$칸 이동
  • -n : 왼쪽으로 $n$칸 이동
  • L : 한 턴 쉬기
  • 0 : 지시 없음 (숫자 0)

어떤 이동 지시도 칩을 보드 밖으로 내보내지 않는다.

각 테스트 케이스마다 한 줄을 출력한다. 게임이 $T$번 이하의 턴에 끝날 확률을 $p$라 하자.

• $p > 0.5$이면 Bet for. x.xxxx
• $p < 0.5$이면 Bet against. x.xxxx
• $p = 0.5$이면 Push. 0.5000

를 출력한다. 여기서 x.xxxx는 확률 $p$를 소수점 넷째 자리까지 반올림한 값이다. (표시용으로 반올림하기 때문에 Bet for.나 Bet against. 뒤에 0.5000이 나타날 수도 있다. 베팅 판정은 반올림하기 전의 정확한 확률을 0.5와 비교해 정한다.)