켜지는 픽셀 개수 세기

1080p 고해상도 디스플레이에 화면을 가득 채우는 원을 그리면 거의 100만 개에 가까운 픽셀이 켜진다. 정말 많은 픽셀이다! 그렇다면 정확히 몇 개의 픽셀이 켜질까? 지금부터 알아보자.

디스플레이를 모든 픽셀이 한 변의 길이가 $1$인 정사각형(단위 정사각형)으로 이루어진 직교 좌표 격자라고 하자. 예를 들어 한 픽셀은 마주 보는 두 꼭짓점 $(0, 0)$과 $(1, 1)$을 가지는 정사각형 영역을 차지한다. 원은 격자 좌표로 주어진 중심과 반지름으로 정해지며, 속이 꽉 찬 원(원판)으로 그려진다. 어떤 픽셀의 일부라도 이 원판에 덮이면 그 픽셀은 켜진다. 다만 원이 픽셀의 변이나 한 꼭짓점에만 닿는 경우, 그 픽셀은 켜지지 않는다.

원의 위치와 반지름이 주어질 때, 그 원이 켜는 픽셀의 정확한 개수를 구하여라.

입력은 여러 개의 테스트 케이스로 이루어지며, 각 테스트 케이스는 한 줄에 하나씩 주어진다. 각 테스트 케이스는 세 정수 $x$, $y$, $r$ ($1 \le x, y, r \le 10^6$)로 이루어지며, 각각 그려지는 원의 중심 $(x, y)$와 반지름 $r$을 나타낸다. 입력의 마지막 줄에는 $x = y = r = 0$인 줄이 주어지며, 이 줄은 처리하지 않는다.

각 테스트 케이스마다, 지정된 원을 그렸을 때 켜지는 픽셀의 개수를 한 줄에 하나씩 출력하여라. 모든 원은 디스플레이 영역 안에 완전히 들어온다고 가정해도 좋다.