업적의 노예 3

경근이는 요즘 isRPG라는 웹게임을 열심히 하고 있다. 제목에 RPG가 들어가 있으니 짐작하겠지만, 이 게임에는 캐릭터가 쓸 수 있는 장비 아이템이 많다. 모든 장비는 정해진 방법대로 재료를 모아 만들고, 만들어진 장비의 옵션은 정해진 범위 안에서 무작위로 정해진다. 만들어진 장비가 마음에 들지 않으면 장비를 해체해서 사용한 재료를 일부 돌려받을 수 있다.

isRPG에도 요즘 게임이 대개 그렇듯 업적 시스템이 있어서, 어떤 항목에서 일정 수치를 달성하면 업적을 얻는다. 경근이가 지금 노리는 항목은 "특정 개수 이상의 장비 제작하기"와 "특정 개수 이상의 장비 분해하기"다.

isRPG에서 가장 쉽게 만들 수 있는 아이템은 나무 단검이다. 재료가 나무 쪼가리 한 종류뿐인 데다, 나무 쪼가리는 상점에서 쉽게 산다. 업적을 얻는 데에 아이템의 질은 아무 상관이 없으므로 경근이는 나무 단검을 잔뜩 깎기로 했다.

나무 쪼가리 $N$개를 쓰면 나무 단검 하나를 만든다. 나무 단검 하나를 분해하면 나무 쪼가리를 적으면 $0$개, 많으면 $K$개까지 돌려받을 수 있다. 나무 쪼가리를 $x$ ($0 \le x \le K$)개 돌려받을 확률은 $x$의 값과 관계없이 모든 $x$에 대해 $1/(K+1)$이다.

보물을 가진 용을 잔뜩 잡아 전리품을 두둑이 챙긴 경근이는 상점에서 나무 쪼가리를 $M$개 샀다. 지금 경근이에게 나무 단검은 하나도 없다. 경근이는 이제부터 가진 나무 쪼가리로 나무 단검을 하나도 만들 수 없을 때까지 만들고, 가진 나무 단검을 모두 분해하는 작업을 반복한다. 경근이는 수많은 경험으로, 모든 작업이 끝난 뒤 나무 쪼가리가 인벤토리에 남아 있는 것이 매우 불쾌한 일이라는 것을 잘 안다. 그래서 경근이는 모든 작업이 끝났을 때 나무 쪼가리가 0개 남을 확률이 얼마인지 알고 싶다. 이런 생각을 하고 나니 나무 쪼가리가 $i$ ($0 \le i < N$)개 남을 확률도 궁금해졌다. 경근이를 도와주자.

첫 줄에 $N$, $K$, $M$이 공백을 사이에 두고 주어진다. $N$은 나무 단검 하나를 만드는 데 필요한 나무 쪼가리의 개수, $K$는 나무 단검 하나를 분해했을 때 얻을 수 있는 나무 쪼가리의 최대 개수다. ($1 \le K < N \le 10^3$)

$M$은 경근이가 처음 가진 나무 쪼가리의 개수로, $0 \le M \le 10^{12}$를 만족하거나 $M = -1$이다. $M = -1$은 처음 가진 나무 쪼가리의 개수가 무한대로 갈 때 확률이 수렴하는 극한값을 답으로 구하라는 뜻이다. 이 극한값이 존재하며 유리수라는 사실은 증명되어 있다.

$i$번째 줄에 나무 쪼가리가 $i-1$개 남을 확률을 출력한다. 나무 쪼가리는 $N-1$개 이하만큼 남으므로 출력은 $N$줄이어야 한다.

좀 더 정확하게 판별하기 위해, 확률을 기약분수 $\frac{p}{q}$로 나타냈을 때 $p - qr \equiv 0 \pmod{10^9+7}$을 만족하는 $0$ 이상 $10^9+7$ 미만의 정수 $r$을 출력해야 한다. 이 정수 $r$이 존재하며 이 범위에서 유일하다는 사실은 증명되어 있다.

$N = 4$, $K = 2$, $M = 4$인 예제의 출력은 순서대로 $\frac{1}{3}$, $\frac{1}{3}$, $\frac{1}{3}$, $0$을 뜻한다. 같은 $N$과 $K$에 $M = -1$인 예제의 출력은 순서대로 $\frac{1}{9}$, $\frac{2}{9}$, $\frac{1}{3}$, $\frac{1}{3}$을 뜻한다.