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돌 더미를 나누는 님 게임

시간 제한2초메모리 제한512 MB

요약
돌을 가져가거나 한 더미를 두 더미로 나누는 님 변형에서 선공이 이기는지 판정합니다.
난이도

어려움10점 중 8점

유형
게임 이론, 수학
정답자
아직 제출이 없습니다

문제

koosaga와 cubelover가 돌 더미를 나눌 수 있는 님 게임을 한다. 돌을 차곡차곡 쌓아 올린 돌 더미가 NN개 있고, 각 더미에는 돌이 한 개 이상 있다. 두 사람은 턴을 번갈아 진행하며, 자기 차례에 다음 두 가지 중 하나를 고를 수 있다.

  1. 보통의 님 게임처럼 돌 더미 하나를 골라 그 더미에서 돌을 하나 이상 제거한다.
  2. 돌이 2개 이상인 돌 더미 하나를 골라 비어 있지 않은 두 개의 돌 더미로 나눈다. 이때 돌은 제거하지 않는다.

전체 돌 더미에서 마지막 돌을 제거한 사람이 이긴다. 게임은 koosaga가 먼저 시작한다. 두 사람이 모두 최적으로 진행할 때 이기는 사람을 구한다.

입력

첫째 줄에 돌 더미의 개수 NN (1≤N≤1001 \le N \le 100)이 주어진다.

둘째 줄에 각 돌 더미에 쌓여 있는 돌의 개수 P1,P2,…,PNP_1, P_2, \ldots, P_N (1≤Pi≤2×1091 \le P_i \le 2 \times 10^9)이 공백으로 구분되어 주어진다.

출력

koosaga가 이기면 koosaga를, cubelover가 이기면 cubelover를 한 줄에 출력한다.

예제8

  1. 예제 1

    입력
    1
    1
    
    예상 출력
    koosaga
    
  2. 예제 2

    입력
    1
    2
    
    예상 출력
    koosaga
    
  3. 예제 3

    입력
    2
    1 1
    
    예상 출력
    cubelover
    
  4. 예제 4

    입력
    2
    1 2
    
    예상 출력
    koosaga
    
  5. 예제 5

    입력
    2
    2 2
    
    예상 출력
    cubelover
    
  6. 예제 6

    입력
    4
    1 2 3 4
    
    예상 출력
    koosaga
    
  7. 예제 7

    입력
    6
    9 8 9 8 9 9
    
    예상 출력
    cubelover
    
  8. 예제 8

    입력
    3
    2 4 6
    
    예상 출력
    koosaga