로봇 팔 역기구학

로봇 팔을 움직이는 일은 보기보다 까다롭다. 팔이 마디 여러 개로 이루어져 있으면 관절마다의 각도가 모여서 손끝의 위치를 정한다. 산업용 로봇에서는 작업자가 손끝의 목표 위치만 지정하고 관절 각도는 소프트웨어가 계산한다. 이 계산을 역기구학이라고 부른다.

여기서 다루는 팔은 마디 $N$개로 이루어지고, 밑동에서부터 1번부터 $N$번까지 번호를 붙인다. 밑동은 원점에 고정되어 있고 1번 마디는 어느 방향으로든 향할 수 있다. 이웃한 두 마디 사이의 관절은 모두 같은 각도로 고정된다.

밑동 각도를 $\theta$, 공통 관절 각도를 $\varphi$라 하고 둘 다 도 단위로 잰다. 1번 마디는 $x$축 양의 방향에서 반시계 방향으로 $\theta$만큼 돌린 방향을 향한다. $k$번 마디와 $k+1$번 마디 사이의 관절에서는, $k$번 마디를 거슬러 가리키는 방향에서 반시계 방향으로 $\varphi$만큼 돌린 방향이 $k+1$번 마디의 방향이 된다. $\varphi$가 180이면 팔은 곧게 펴지고, 그보다 작으면 관절마다 같은 크기로 시계 방향으로 꺾인다. 따라서 $k$번 마디의 방향은

$\theta - (k-1)(180 - \varphi)$

이고, $N$번 마디 끝에 있는 손끝의 위치는

$\left(\sum_{k=1}^{N} \ell_k \cos\big(\theta - (k-1)(180-\varphi)\big),\; \sum_{k=1}^{N} \ell_k \sin\big(\theta - (k-1)(180-\varphi)\big)\right)$

이다. 여기서 $\ell_k$는 $k$번 마디의 길이다.

그림에서 팔은 $(0, 0)$에 고정되어 있고 마디 길이는 차례로 1, 3, 1이다. 밑동 각도와 공통 관절 각도가 모두 90도여서 손끝이 $(3, 0)$에 놓인다.

마디 길이와 손끝의 위치가 주어지면 $\theta$와 $\varphi$를 구하여라.

손끝을 같은 점에 놓는 $(\theta, \varphi)$ 쌍이 여럿 있을 수 있다. 그중 공통 관절 각도 $\varphi$가 가장 큰 쌍, 즉 목표에 닿는 팔 가운데 가장 덜 꺾인 것을 답으로 삼는다.

입력은 문제 여러 개로 이루어지고 문제 수는 20개 이하이다. 각 문제의 첫 줄에는 $N$, $X$, $Y$가 공백으로 구분되어 주어진다. $N$은 마디 수이고 $2 \le N \le 30$이다. $X$와 $Y$는 손끝이 놓여야 할 좌표이며 실수로 주어진다. 이어지는 $N$개의 줄에는 밑동부터 차례로 각 마디의 길이가 한 줄에 하나씩 실수로 주어진다. 0 세 개로 이루어진 줄이 나오면 입력이 끝나고, 그 줄은 문제가 아니다.

모든 마디 길이는 1 이상 10 이하이고, 좌표는 $-10 \le X \le 10$, $-10 \le Y \le 10$을 만족한다. 손끝이 원점에 놓이는 경우는 없다. 모든 문제에는 답이 적어도 하나 있고, 소수점 셋째 자리가 반올림 경계에 걸리는 답은 입력에 나오지 않는다.

문제마다 한 줄에 두 값을 공백으로 구분해 출력한다. 앞은 밑동 각도, 뒤는 공통 관절 각도이며 둘 다 도 단위로 소수점 아래 셋째 자리까지 정확히 출력한다. 목표에 닿는 각도 쌍이 여럿이면 공통 관절 각도가 가장 큰 쌍을 출력한다. 밑동 각도는 0 이상 360 미만이고, 공통 관절 각도는 0 이상 180 이하이다.