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루트 님 게임

시간 제한1초메모리 제한512 MB

요약
더미 하나의 돌 x개를 x의 4제곱근 이상 제곱근 이하이면서 x보다 작은 y개로 바꾸는 게임에서, 두 명이 최선을 다할 때 선공이 이기는지 구합니다.
난이도

보통10점 중 7점

유형
게임 이론, 수학, 누적 합
정답자
아직 제출이 없습니다

문제

구사과와 큐브러버가 루트 님 게임을 하려고 한다. 님 게임은 돌 더미 NN개를 이용하고, ii번째 돌 더미에는 AiA_i개의 돌이 있다. 두 사람은 턴을 번갈아 가며 게임을 진행한다. 각 턴에서 다음을 해야 한다.

  • 돌 더미 하나를 고른다. 이때 그 돌 더미에 있는 돌의 수를 xx라고 한다.
  • 0≤y<x0 \le y < x이고 x1/4≤y≤x1/2x^{1/4} \le y \le x^{1/2}를 만족하는 정수 yy를 고르고, 고른 돌 더미의 돌 개수를 yy로 바꾼다.

더 이상 턴을 진행할 수 없는 사람이 게임에서 진다.

돌 더미의 개수 NN과 각 돌 더미에 있는 돌의 개수가 주어졌을 때, 누가 이기는지 구하는 프로그램을 작성하시오. 두 사람은 최적의 방법으로 게임을 진행하며, 구사과부터 턴을 시작한다.

입력

첫째 줄에 돌 더미의 개수 NN(1≤N≤1000001 \le N \le 100000)이 주어진다. 둘째 줄에는 각 돌 더미에 있는 돌의 개수 AiA_i(1≤Ai≤10000000000001 \le A_i \le 1000000000000)가 주어진다.

출력

구사과가 이기는 경우에는 "koosaga"를, 큐브러버가 이기는 경우에는 "cubelover"를 출력한다.

예제3

  1. 예제 1

    입력
    1
    1
    
    예상 출력
    cubelover
    
  2. 예제 2

    입력
    2
    1 2
    
    예상 출력
    cubelover
    
  3. 예제 3

    입력
    10
    1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
    
    예상 출력
    koosaga