In The End

방향 한쪽으로 무한히 뻗은 보드가 있다. 보드는 $n$개의 행과 무한히 많은 열로 이루어진다. 가장 왼쪽 첫 번째 열은 있지만 마지막 열은 없다. 각 열에는 케이크가 있는 칸이 정확히 하나 있다. 케이크가 $i$번째 행에 있을 확률은 $p_i$이며, 모든 $p_i$의 합은 $1$이다. 서로 다른 열의 케이크 위치는 독립이다. 로봇은 첫 번째 열의 어떤 칸에서든 출발할 수 있다. 로봇이 $(x, y)$ 칸(x행, y열)에 있으면, 한 번의 이동으로 $(x, y + 1)$, $(x - 1, y + 1)$, $(x + 1, y + 1)$ 중 존재하는 칸으로 옮겨 갈 수 있다. 로봇이 케이크가 있는 칸을 방문하면 그 케이크를 모은다. 사건의 순서는 다음과 같다. 먼저 주어진 확률에 따라 모든 케이크를 배치한다. 그다음 배치 정보를 로봇에게 준다. 로봇은 모은 케이크 수를 최대화하도록 출발 칸과 이동 계획을 고른다. $m = 1, 2, \ldots$에 대해 $n \times m$ 보드를 생각하고, 최적 경로를 따랐을 때 1단계당 모으는 케이크 수의 기댓값 평균을 $f(m)$이라 하자. $\lim_{m \rightarrow \infty} \frac{f(m)}{m}$을 구하라.

첫 줄에 행의 개수를 나타내는 정수 $n$ ($1 \le n \le 6$)이 주어진다. 다음 줄에는 소수점 아래 최대 한 자리까지 표현된 실수 $p_i$ ($0 \le p_i \le 1$) $n$개가 주어진다. 확률의 합은 $1$이다.

답은 양의 정수 $P$와 $Q$에 대한 분수 $\frac{P}{Q}$로 나타낼 수 있다. $(P \cdot Q^{-1}) \bmod (10^9 + 7)$을 출력하라.