In or Out

바르샤바에서 태어난 브누아 망델브로(1924-2010)는 프랙탈 기하학의 아버지로 여겨진다. 그는 프랙탈이라 불리는 자기 유사적이고 자연스러운 도형을 설명하는 수학적 과정을 연구했다. 아마도 그의 가장 잘 알려진 업적은 아래에 그려진 망델브로 집합일 것이다(검은 점이 집합에 포함된다):

망델브로 집합은 보통 모든 복소수를 나타내는 2차원 평면인 복소평면 위에 그린다. 가로축은 수의 실수부를 나타내고, 세로축은 허수부를 나타낸다. 복소수 $c = x + yi$ (복소평면 위의 위치 $(x, y)$)는 다음 수열이 발산하면 망델브로 집합에 속하지 않는다:

$z_{n+1} \leftarrow z_n^2 + c$

$z_0 = 0$ 에서 시작한다. 즉 $\lim_{n \to \infty}{|z_n|} = \infty$ 이다. 수열이 발산하지 않으면 $c$ 는 집합에 속한다.

허수와 그 연산에 관한 다음 사실을 기억하자:

$i = \sqrt{-1}$, $i^2 = −1$, $(x + yi)^2 = x^2 − y^2 + 2xyi$, $|x + yi| = \sqrt{x^2 + y^2}$

여기서 $x$ 와 $y$ 는 실수이고, $| \cdot |$ 는 복소수의 절댓값이다(복소평면에서 $x + yi$ 의 절댓값은 원점에서 점 $(x, y)$ 까지의 직선 거리와 같다).

주어진 값 $c$ 에 대해 정해진 반복 횟수 안에서 수열 $z_n$ 이 발산하는지 판별하는 프로그램을 작성하라. 즉 $c$ 가 망델브로 집합에 속하는지 아닌지 판별하는 것이다. 발산을 검출하려면 계산한 임의의 $z_n$ 에 대해 $|z_n| > 2$ 인지만 확인하면 된다. 이 조건이 성립하면 수열은 반드시 발산한다.

각 테스트 케이스는 세 수를 포함하는 한 줄로 주어진다. 두 실수 $-3 \le x \le 3$ 와 $-3 \le y \le 3$, 그리고 정수 $0 \le r \le 10\,000$ 이다. 이 케이스의 $c$ 값은 $x + yi$ 이고, $r$ 은 계산할 최대 반복 횟수이다.

각 케이스마다 케이스 번호를 출력하고, 주어진 $c$ 가 망델브로 집합에 속하는지 IN 또는 OUT 으로 출력하라.