수익률

질(Jill)은 오랫동안 뮤추얼 펀드에 돈을 넣어 왔다. 소득이 들쭉날쭉해서 넣은 금액도 매번 달랐고 넣는 시점도 일정하지 않았다. 다만 언제 얼마를 넣었는지는 빠짐없이 기록해 두었다.

펀드는 이따금 계좌의 현재 평가액을 알려 준다. 질은 같은 돈을 고정 금리 예금에 넣었다면 결과가 더 나았을지 궁금하다. 그러려면 같은 평가액을 만들어 내는 고정 금리가 얼마인지부터 알아야 한다. 그 금리를 구하면 된다.

질은 매달 초에만 돈을 넣었고 모든 달의 길이는 같다고 하자. 예금 이자는 매달 말에 붙고 월 복리로 불어난다. 따라서 월 이율이 $i$일 때 $m$번째 달 초에 넣은 $a$달러는 $M$번째 달 말에 $a(1+i)^{M-m+1}$이 된다.

질은 $N$번에 걸쳐 $m_k$번째 달 초에 $a_k$달러를 넣었고, $M$번째 달 말 평가액은 $V$달러다. 다음 식을 만족하는 월 이율 $i$를 구하라.

$\sum_{k=1}^{N} a_k (1+i)^{M - m_k + 1} = V$

예를 들어 1번째 달 초에 $100, 3번째 달 초에 다시 $100을 넣었고 4번째 달 말 평가액이 $210이라면 식은 $100(1+i)^4 + 100(1+i)^2 = 210$이 되고, 근은 약 $0.016351795234$다.

입력에는 여러 개의 케이스가 들어 있다. 각 케이스는 질이 돈을 넣은 횟수인 정수 $N$ ($1 \le N \le 12$)으로 시작한다. 그 뒤로 정수 하나와 실수 하나로 이루어진 쌍이 $N + 1$개 온다. 정수는 달 번호(1 이상)이고 실수는 달러 금액이다. 앞의 $N$개 쌍은 각 투자의 달과 금액을 달 번호가 커지는 순서로 준다. 마지막 쌍은 평가 시점의 달 $M$과 그 달 말의 평가액 $V$다.

수와 수 사이에는 공백, 탭, 줄바꿈 중 하나 이상이 들어간다. 한 쌍이 두 줄에 걸쳐 주어질 수도 있다.

마지막 케이스 뒤에는 정수 $-1$이 하나 온다.

각 케이스마다 Case k: r 형식으로 한 줄씩 출력한다. $k$는 1부터 시작하는 케이스 번호이고, $r$은 소수점 아래 다섯째 자리까지 반올림한 월 이율이다. 이어지는 두 케이스 사이에는 빈 줄을 하나 출력한다.

이율은 0 이상 1 이하다. 정확한 이율이 반올림 경계에 놓이는 케이스는 없으므로 다섯 자리 값은 하나로 정해진다.