프랜시스 바흐, 로그-합-지수 분산 폭발 문제에 최소제곱 적용: 최대우도 추정의 폐형 계산 제안

프랜시스 바흐, 로그-합-지수 분산 폭발 문제에 최소제곱 적용: 최대우도 추정의 폐형 계산 제안

샘플 평균으로 $E[e^z]$ 를 추정할 때 상대 제곱오차는 $(e^{sigma^2}-1)/n$ 으로 $sigma^2$ 가 커지면 지수적으로 폭발함. 로그를 씌워도 분산은 비슷하게 자람
프랜시스 바흐(Francis Bach) 블로그 글이 log-sum-exp 함수 최적화의 계산·통계적 단점을 줄이면서 장점을 유지하는 문제를 다룸
저자는 선형 모델에서 폐형 해와 고정 분산의 모먼트 계산을 주는 최소제곱 회귀를 최대우도 문제(로지스틱, 소프트맥스 회귀)의 폐형 추정량으로 만드는 방향을 제안함
글의 요약식인 적분 항등식 $t log t - t + 1 = int_0^1 (t-1)^2 / ((rho t + 1 - rho)(1-rho)) d rho$ 가 이 전환의 핵심 도구임
테스트 문제로 두 분포 $p$ , $q$ 에 대한 상대 밀도 $log(dp/dq)$ 추정을 선택하고 변분식으로 이 추정이 KL 발산 추정과 같다고 설명함

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